Pozn. – Jak chápat výpočet hodnoty dluhopisu?

Původně to byla poznámka pod čarou u předešlého článku, ale nakonec to vydá na článek samostatný. Jen se v úvodu nezalekněte. Z vlastní zkušenosti předjímám, že pochopit smysl takových vztahů může být docela příjemný pocit.  Zkuste a uvidíte. 😉

V učebnicích, na internetu a vůbec všude možně se dočtete, že dluhopis má aktuální tržní hodnotu vypočtenou podle následujícího vzorce,

C = \frac{i_0 C_0}{1+i} + \frac{i_0 C_0}{(1+i)^2} + \ldots + \frac{i_0 C_0}{(1+i)^n} + \frac{C_0}{(1+i)^n} = \frac{i_0C_0(1+i)^n+C_0(i-i_0)}{i(1+i)^n},

kde C_0 je nominální hodnota dluhopisu, i_0 vyplácený roční kupón, n počet let do splatnosti a C opravená cena dluhopisu při požadovaném ročním kupónu (výnosnosti) i. Dobře, tak je to nějaká geometrická řada, kterou nasčítáme, ale proč ten vzorec vypadá takhle? Jak mu rozumět?

Není to nic těžkého. Nejdřív si představíme, že dluhopis má jeden rok do splatnosti a vyplatí se jediný kupón. Takový dluhopis tedy po splatnosti vyplatí vlastníkovi C_0+i_0C_0=(1+i_0)C_0. Např. 5% bond o nominální hodnotě 1000 Kč, tedy 1050 Kč. Pokud je požadová výkonost vyšší, např. i=10\%, platí, že požadujeme bond koupit za cenu C, aby požadovaná výplata (1+i)C byla rovna tomu, co dostaneme, tedy

(1+i)C = (1+i_0)C_0\rightarrow C = \frac{(1+i_0)C_0}{(1+i)}.

Pokud bychom museli na výplatu kupónu čekat více let, musíme závorku (1+i) na levé straně umocnit na daný počet let kvůli složenému úročení (ten, kdo musí dva roky čekat na kupón a chce 10%, si počítá (1+10\%)\times (1+10\%), jako by takto složeně úročil ve fiktivní bance). Takový jeden kupón vyplacený (spolu s jistinou) až po  letech se tedy spočítá

(1+i)^n C = (1+i_0)C_0\rightarrow C = \frac{(1+i_0)C_0}{(1+i)^n}.

A teď už jsme jenom krůček od celého vztahu. Dluhopis se splatností několik let a roční výplatou kupónu tedy složíme z těchto výrazů pro opravené výplaty – jenom s tím rozdílem, že nominální hodnota bondu se splatí jen jednou a nakonci (ach ano, kéž by nominál vypláceli ročně 😉 ). Potom platí, že

C = \frac{i_0 C_0}{1+i} + \frac{i_0 C_0}{(1+i)^2} + \ldots + \frac{i_0 C_0}{(1+i)^n} + \frac{C_0}{(1+i)^n}

a jsme doma. Aktuální diskontovaná cena dluhopisu je tedy součet opravených výplat kupónů a na závěr vyplatíme i celý nominál. Pokud n=1, dostáváme se k jednoduchému vzorečku z počátku. No a teď už zbývá jen uvědomit si, že tohle není nic jiného než geometrická řada, kterou už jen posčítáme. A máme kompaktní úvodní vztah! A navíc mu rozumíme. 🙂

Pokud by nějaký zlý jazyk po dočtení sem tvrdil, že to bylo moc snadné a že tohle ani žádná matematika není, v klidu mu doporučíme, aby místo vzorečku na součet geometrické posloupnosti tuto řadu zintegroval. Pěkně na férovku. Tím už spálí cukru jako za hodinku na rotopedu. 😉

Napsat komentář

Vaše emailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *